大家好，我是小环，我来为大家解答以上问题。数列求通项的七种方法及例题，高中数列公式总结大全很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、1利用待定常数法(重点） 例1 已知数列｛n ｝中，若1=1，且n+1=3n-4(n=1,2,3,…). 求数列的通项公式n. 分析：若关系式是n+1=3n即为等比数列，因此考虑处理-4，若能化为n+1+x=3(n+x),则可构造等比数列｛n+x｝。

2、 解：设n+1=3n-4恒等变形为n+1+x=3（n+x)，即n+1=3n+2x,比较系数得：x=-2 n+1-2=3(n-2) 数列｛n-2｝是以1-2=-1为首项，公比为3的等比数列 n-2=（-1）3n-1 即n = -3n-1+2. 说明：给出一阶递推关系式形如 (n=1,2,…),A、B为常数，均可使用待定常数法，构造等比数列求出通项。

3、 例2 已知数列｛n ｝中，前n项和sn = 2n-3n, 求数列的通项公式n. 分析：已知等式中不是递推关系式，利用可转化为：n -2n-1=2,考虑3n-1是变量，引入待定常数x时，可设n- x=2(n-1- x),从而可构造等比数列。

4、 解：1=s1=21-3 则1=3， 当n2时， =（2n-3n）-（2n-1-3n-1）即n-2n-1=2 ,设其可恒等变形为：n- x=2(n-1- x)，（需要注意的是上面的指数，这是某种关系而不是固定的常数，故在恒等变形时需注意两边对应的关系，而不应该用X代替x，也可以不设“-”设“+”，结果是一样的。

5、） 即 n -2n-1=x ,比较系数得：x=2. n- 2=2(n-1- 2 ) 数列｛n- 2｝是以1-6=-3为首项，公比为2的等比数列。

6、 n- 2=（-3）2n-1 n=2-3. 说明：对于型如n=An-1+f(n)（A为常数）的一阶递推关系式。

7、可利用待定常数法，构造等比数列；但须体现新数列相邻两项的规律性，设其可恒等变形为：n- xg(n)=A[n-1- xg(n-1)],若x存在,则可构造等比数列{ n- xg(n)}。

8、 2 利用配方法 有些递推关系式经“配方”后，可体现等差（比）的规律性。

9、 例3 设n0，1=5，当n2时，n+n-1=+6, 求数列的通项公式n。

10、 分析：给出的递推关系式不能反映规律性，因此考虑去分母得：2n-2n-1=7+6(n-n-1),为体现规律性，变形为：2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）2-(n-1-3)2=7. 解：由n+n-1=+6（n2）变形为： 2n-2n-1=7+6(n-n-1) 即（n-3）2-(n-1-3)2=7 （n2） 数列{ }是以(1-3)2=4为首项，公差为7的等差数列 =4+7（n-1）=7n-3，而n0 n=+3 说明：递推关系式中含有二次项、一次项时可考虑用配方法，揭示规律，构造等差（比）数列。

11、 3 利用因式分解 有些递推关系式经因式分解后，可体现等差（比）的规律性。

12、 例4已知数列｛n ｝是首项为1的正项数列，且2n+1 + 3n+1 - 22n + 3n - nn+1=0求数列的通项公式n。

13、 分析:由已知递推关系式，若配方，则无法配成完全平方或完全平方项之和。

14、因此考虑用因式分解化简，寻求更实质的关系。

15、可变形为：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2n）=0。

16、 解：由已知有：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2 n）=0 （n+1 + n）[（n+1 + 3）-2n]=0，而n0 n+1 + 3 -2n=0，则利用待定常数法有（n+1 - 3）-2（n -3）=0 数列{n -3}是以1-3=-2为首项，公比为2的等比数列。

17、 n-3 =（-2）2n-1 即n = 3-2n 说明：因式分解能达到化简的目的，使递推关系式简化，凸显规律性。

18、 5 利用倒数 有些数列的递推关系式，经取倒数变形后，显现出规律性，可构造等比（差）数列。

19、 例7 已知x1=1,x2=2,xn+ 2=,试求xn 。

20、 分析：由递推关系式结构特征，易联想到倒数，即有 xn+2 =，从而 =，可构造等比数列。

21、 解：对递推关系式两边取倒数得：= 可变形为=（-）（） 数列{}是以=-为首项，公比为-的等比数列 =（-）(-= (n2) =+()+()+ … +() = 1 + （-）+（-）2 + … + = + (n2) = (n2) 而当n=1时亦满足。

22、 = (n1) 说明：递推关系式中含有相邻两项之积与相邻两项之和的关系，可考虑取倒数（或化为分式），揭示规律，构造等比（差）数列。

23、 例8已知数列｛n ｝中，1=7，n2时，，求数列的通项公式n 分析：已知递推关系式右边为分式，取倒数后可化为：，未能反映规律， 但若能化为的关系，则可揭示规律；结合待定常数法，可确定A值。

24、 解：由已知： （A0）即(2A+1≠0) 令，解得：A=1 已知关系式可恒等变形为，取倒数得： （n2）。

25、 数列{}是以=为首项，公差为的等差数列。

26、 = +（n-1）,即 （n1） 说明：①例8中的递推关系式结构特征，亦易想到取倒数，但要灵活结合待定常数法，构造新数列，凸显等差的规律性。

27、 ②引入待定常数A是为了揭示变化的一致性（规律性），若A值存在，则可反映此变化规律。

28、若A值不存在，则考虑其它变形。

29、 6 利用换元 有些数列的递推关系式看起来较为复杂，但应用换元和化归思想后，可构造新数列进行代换，使递推关系式简化，从而揭示等差（比）规律，求出通项。

30、 例9已知数列｛an ｝中， 求（1981年第22届IMO预选题）。

31、 分析：已知递推关系式中的较难处理，考虑用换元去掉根式，即令（0）。

32、 解：令，则=5， 0，从而= 由已知递推关系式有： 化简得：=（）2 2=， 由待定常数法得：2（-3）= -3 数列{-3}是以-3=2为首项，公比为的等比数列。

33、 -3=2（）n-1 即 = + 3 == (n1) 说明：对于递推关系式中较难处理的根式（比如不能反映相邻项的规律性），可采用换元去掉根式，化简递推关系式，揭示相邻项的变化规律，构造等比（差）数列。

34、 例10 设=1，=（nN）,求证：（1990年匈牙利奥林匹克试题）。

35、 分析：比较已知与结论，应先求通项公式。

36、待证的不等式中含有，且已知递推关系式中含有，据此两个信息，考虑进行三角代换，化简递推关系式。

37、 证明：由已知0，引入数列{}使=tan,(0,) 由已知有：= 即=，又=1，，从而 即数列{}是以为首项，公比为的等比数列 = = ， 而当x(0,)时，有tanxX = tan。

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