大家好，我是小环，我来为大家解答以上问题。实数指的是什么，实数很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、shíshù （一）数学名词。

2、不存在虚数部分的复数，有理数和无理数的总称。

3、 （二）真实的数字。

4、【例】公司到底还有多少钱？请你告诉我实数！ 基本概念 实数包括有理数和无理数。

5、其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。

6、 数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。

7、本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

8、 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。

9、实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。

10、而 R^n 表示 n 维实数空间。

11、实数是不可数的。

12、实数是实分析的核心研究对象。

13、 实数可以用来测量连续的量。

14、理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

15、在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。

16、在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

17、 ①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a ②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a ②a为0时， |a|=0 ③a为负数时，|a|=-a ③倒数 （两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0） 历史来源 埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。

18、在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。

19、印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。

20、 直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。

21、18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。

22、直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

23、 相关定义 从有理数构造实数 实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。

24、实数可以不同方式从有理数构造出来。

25、这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

26、 公理的方法 设 R 是所有实数的集合，则： 集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。

27、 域 R 是个有序域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z： 若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z； 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。

28、 集合 R 满足戴德金完备性，即任意 R 的非空子集 S (S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。

29、 最后一条是区分实数和有理数的关键。

30、例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 √2 不是有理数）。

31、 实数通过上述性质唯一确定。

32、更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

33、 相关性质 基本运算 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。

34、实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。

35、任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

36、 完备性 作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质： 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

37、 有理数集合就不是完备空间。

38、例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。

39、实际上，它有个实数极限 √2。

40、实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

41、 极限的存在是微积分的基础。

42、实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

43、 “完备的有序域” 实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

44、 首先，有序域可以是完备格。

45、然而，很容易发现没有有序域会是完备格。

46、这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。

47、所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

48、 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。

49、上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。

50、这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

51、 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。

52、然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。

53、上述完备性中所述的只是一个特例。

54、（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。

55、）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。

56、实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。

57、可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。

58、这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

59、 “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。

60、他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。

61、这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。

62、这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

63、 高级性质 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。

64、这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。

65、实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。

66、由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。

67、实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。

68、该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。

69、 所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。

70、这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。

71、而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。

72、这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。

73、证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。

74、 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。

75、 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。

76、不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。

77、满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。

78、这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。

79、 拓扑性质 实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。

80、作为一个全序集，它也具有序拓扑。

81、这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。

82、实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。

83、但实数集不是紧致空间。

84、这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。

85、以下是实数的拓扑性质总览： 令 a 为一实数。

86、a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。

87、 R 是可分空间。

88、 Q 在 R 中处处稠密。

89、 R的开集是开区间的联集。

90、 R的紧子集是有界闭集。

91、特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。

92、 每个R中的有界序列都有收敛子序列。

93、 R是连通且单连通的。

94、 R中的连通子集是线段、射线与R本身。

95、由此性质可迅速导出中间值定理。

96、 扩展与一般化 实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化： 最自然的扩展可能就是复数了。

97、复数集包含了所有多项式的根。

98、但是，复数集不是一个有序域。

99、 实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。

100、它不是一个阿基米德域。

101、 有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。

102、它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。

103、 希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。