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欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ推导(欧拉公式推导过程)

更新时间:2024-05-25 22:58:02

导读 大家好,我是小环,我来为大家解答以上问题。欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ推导,欧拉公式推导过程很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1...

大家好,我是小环,我来为大家解答以上问题。欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ推导,欧拉公式推导过程很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。

2、它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。

3、 e^ix=cosx+isinx的证明: 因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-…… 在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=〒i, (±i)^4=1 ……(注意:其中”〒”表示”减加”) e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!〒x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x,得到: e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

4、将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到: e^iπ+1=0.。

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。

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