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蝴蝶定理证明解析几何(蝴蝶定理证明)

更新时间:2023-10-03 16:41:05

导读 大家好,我是小环,我来为大家解答以上问题。蝴蝶定理证明解析几何,蝴蝶定理证明很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、蝴蝶定理:...

大家好,我是小环,我来为大家解答以上问题。蝴蝶定理证明解析几何,蝴蝶定理证明很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、蝴蝶定理:在圆O中,CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、K,则有MK=MH。

2、 已知:在圆O中,CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、K。

3、 求证:MK=MH。

4、 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上,由于其几何图形形象奇特,酷似蝴蝶,因此而得名。

5、历史上出现过许多优美奇特的解法,其中最早的应首推霍纳所给出的非初等的证法。

6、至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学数学教师斯特温首先提出的,他给出的是面积法的证明。

7、 思路1:如图8-30甲所示,构造△MFH的全等△MGK;从四点共圆开始,再用四点共圆来证明∠MFH=∠MGK是关键; 证明1:过F作FG‖AB交⊙O于G,连接MG、KG、DG。

8、 则∠AMF=∠MFG;∠BMG=∠MGF(平行线性质); 在△AMF和△BMG中; AM=MB; ∠FAM=∠GBM;(等弧对等角) AF=BG; (等弧对等弦) ∴ △AMF≌△BMG;(SAS) ∴ ∠AMF=∠BMG;MF=MG; ∴ ∠AMF=∠MFG=∠FGM=∠GMB; ∵ E、F、G、D四点共圆; ∴ ∠MFG+∠KDG=180° ∴ ∠BMG+∠KDG=180° ∴ M、K、D、G四点共圆; ∴ ∠MDK=∠MGK; ∵ ∠MDK=∠MFH;(同弧上的圆周角相等) ∴ ∠MFH=∠MGK; 在△MFH和△MGK中; ∠FMH=∠GMK; MF=MG; ∠MFH=∠MGK; ∴ △MFH≌△MGK;(ASA) ∴ MH=MK。

9、 结论:根据圆的对称性,往左边作图也一定可以,构造△MDK的全等三角形。

10、 思路2:如图8-30甲所示,根据圆的对称性,作出弦心距;从三角形相似再推导出三角形相似,由四点共圆,推导出∠MOH=∠MOK是关键; 证明2:过O作OS⊥FC、OT⊥DE、连OH、OK、SM、MT,再连MO。

11、 ∵ AM=MB; ∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°; 在△FCM和△DEM中; ∠CMF=∠DME;(对顶角相等); ∠MFC=∠MDE;(等弧对等圆周角) ∴ △FCM∽△DEM;(AA) ∴ = ; ∵ FS=SC=FC;DT=TE=DE; ∴ = ; 在△FSM和△DTM中; ∠MFS=∠MDT;(等弧对等圆周角); = ; ∴ △FSM∽△DTM;(SAS) ∠FSM=∠DTM; ∠MSH=∠MTK; ∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°;O、S、H、M四点共圆; ∴ ∠MSH=∠MOH; ∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°;O、T、K、M四点共圆; ∴ ∠MTK=∠MOK; ∴ ∠MOH=∠MOK; ∴ M、H、G、F四点共圆; ∴ ∠MGH=∠MFH; 在△MOH和△MOK中; ∠MOH=∠MOK; MO=MO; ∠AMO=∠BMO=90°; ∴ △MOH≌△MOK;(ASA) ∴ MH=MK。

12、 结论:作出弦心距是最有效的辅助线,本证法的出发点是证明△HOK是等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一性来证明最终的结论。

13、该命题还有很多其他证法,不再赘述。

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。

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