大家好，我是小环，我来为大家解答以上问题。秦九韶公式和海伦公式怎么转换，秦九韶公式很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、

1、原理简介

2、假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

3、 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

4、 而公式里的p为半周长：

5、 p=(a+b+c)/2

6、 注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以

7、 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

8、 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

9、证明过程

10、与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为

11、 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

12、 S=1/2*ab*sinC

13、 =1/2*ab*√(1-cos^2 C)

14、 =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

15、 =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

16、 =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

17、 =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

18、 =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

19、 设p=(a+b+c)/2

20、 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

21、 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

22、 =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

23、 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

24、证明（2）

25、 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

26、 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

27、 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以

28、 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

29、 当P＝1时，△ 2＝q,

30、 △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

31、 因式分解得

32、 △ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

33、 =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

34、 =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

35、 =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

36、 =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

37、 =p(p-a)(p-b)(p-c)

38、 由此可得：

39、 S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

40、 其中p=1/2(a+b+c)

41、 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

42、 S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.

43、 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

44、 已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积

45、 这里用海伦公式的推广

46、 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

47、 代入解得s=8√ 3

48、证明（3）

49、 在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

50、 O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长

51、 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

52、 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

53、 ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

54、 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

55、 =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

56、 =ptanA/2tanB/2tanC/2

57、 =r

58、 ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

59、 ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

60、 =p(p-a)(p-b)(p-c)

61、 ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

62、 证明(4)

63、 通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)

64、编辑本段推广

65、 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

66、 设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2,则

67、 S△ABC

68、 =1/2 aha

69、 =1/2 ab×sinC

70、 = r p

71、 = 2RsinAsinBsinC

72、 = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

73、 其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。