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1、第 二 章 因式分解 §2-1因式与倍式 壹、本节重点 (1)如果多项式A能被多项式B整除，商式为多项式C，可以写成ABC，也可以写成ABC。

2、这个时候，我们说多项式B和多项式C是多项式A的因式，而多项式A是多项式B和多项式C的倍式。

3、 (2)将一个二次式写成两个一次式的乘积，叫做这个二次式的因式分解。

4、 贰、例题 例1.判别x +1是否为2x3-3x2-2x + 6的因式？ 解： 【答：不是】 例2.判别2x3 + x2-4x-3是否为2x-3的倍式？ 解： 【答：是】 例3.a-b是否为ac-bc的因式？为什麼？ 解： 【答：是】 例4. ax + ab是否为a的倍式？为什麼？ 解： 【答：是】 例5.设x +1是x2 + mx +2的因式，求m值。

5、 解： 【答：3】 例6.设x3 + 4x2 + nx-10是x-2的倍式，求n值。

6、 解： 【答：-7】 参、习题 1.判别x + 2是否为x3 + x2-4x-4的因式？ 解： 2.判别2x3 + 3x2-8x-12是否为2x + 3的倍式？ 解： 3. x-y是否为ax-ay的因式？为什麼？ 解： 4.6y + xy2是否为y的倍式？为什麼？ 解： 5.设x-2是x3 + mx2 + 3x + 2的因式，求m值。

7、 解： 6.设2x3 + nx2-1是2x-1的倍式，求n值。

8、 解： 肆、习题解答 1.是 2.是 3.是 4.是 5.-4 6. 3 分解因式 1.2x4y2－4x3y2＋10xy4。

9、 2. 5xn+1－15xn＋60xn--1。

10、 3. 4. (a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y2 5. x4-1 6.－a2－b2＋2ab＋4 7. 8. 9 10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 11.x2-2x-8 12．3x2+5x-2 13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 14. (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120. 15． 3x2+11x+10 16. 5x2―6xy―8y2 17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。

11、 18.设 为正整数，且64n-7n能被57整除，证明： 是57的倍数. 19.求证：无论x、y为何值， 的值恒为正。

12、 20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。

13、 三 求值。

14、 21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 . 22．已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。

15、 1. 解：原式=2xy2•x3－2xy2•2x2＋2xy2•5y2 =2xy2 (x3－2x2＋5y2)。

16、 2. 解：原式=5 xn--1•x2－5xn--1•3x＋5xn--1•12 =5 xn--1 (x2－3x＋12) 3. 解：原式=3a(b-1)(1-8a3) =3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)* 提示：立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 4. 解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)2 5. 解：原式=(x2+1)(x2-1)=(x2+1)(x+1)(x-1) 6. 解：原式＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 7. 解：原式= x4-x3-(x-1)= x3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x3-1)=(x-1)2(x2+x+1)* 8. 解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y4=y2(x+y-6)2-y4=y2[(x+y-6)2-y2] =y2(x+y-6+y)(x+y-6-y)= y2(x+2y-6)(x-6) 9. 解：原式= (x+y)2(x2-12x+36)-(x+y)4=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y) =(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6) 10. 解：原式=.（a2+b2 +2ab）+2bc+2ac+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=(a+b+c)2 11. 解：原式=x2-2x+1-1-8=(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4) 12．解：原式=3(x2+ x)-2=3(x2+ x+ - )-2=3(x+ )2-3× -2=3(x+ )2- =3[(x+ )2- ]=3(x+ + )(x+ - )=3(x+2)(x- )=(x+2)(3x-1) 13. 解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1 令x2+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1=a2+10a+25=(a+5)2=(x2+5x+5) 14. 解:原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120 令x2+5x=m则=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1) 15．解：原式＝(x+2)(3x+5) 说明：十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。

17、分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。

18、需要注意的是:⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，则应同负号。

19、⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同（若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号）。

20、 16. 解：原式＝(x－2y)(5x＋4y) 17．证明： 原式=31998(32－4×3＋10)= 31998×7，∴ 能被7整除。

21、 18. 证明： =8（82n-7n）+8×7n+7n+2=8（82n-7n）+7n(49+8)=8（82n-7n）+57 7n 是57的倍数. 19.证明： =4x2-12x+9+9y2+30y+25+1=(2x-3)2+(3y+5)2+1≥1. 20.解：∵x2+y2-4x+6y+13=0 ∴x2-4x+4+y2+6y+9=0 (x-2)2+(y+3)2=0 (x-2)2≥0, (y+3)2≥0. x-2=0且y+3=0 x=2,y=-3 21.解：∵a-b=8 ∴a=8+b 又ab+c2+16=0 即∴（b+8）b+c2+16=0 即(b+4)2+c2=0 又因为，(b+4)2≥0，C2≥0, ∴b+4=0,c=0, b=-4,c=0,a=b+8=4 ∴a+b+c=0. 22． 解：设它的另一个因式是x2+px+6,则 x4-6x3+mx2+nx+36=(x2+px+6)(x2+3x+6)=x4+(p+3)x3+(3p+12)x2+(6p+18)x+36 比较两边的系数得以下方程组： 解得。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。